A matemática de objetos de aparência simples pode ser surpreendentemente desconcertante. Provavelmente não há maior exemplo disso do que a faixa de Möbius.
É um objeto unilateral que pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel e conectando as pontas com fita adesiva. Se você seguisse o laço com o dedo, acabaria voltando ao ponto de partida, tendo tocado toda a superfície do laço ao longo da jornada. Esta criação simples, a faixa de Möbius, é fundamental para todo o campo da topologia e serve como um exemplo por excelência de vários princípios matemáticos.
Um desses princípios é a não orientabilidade , que é a incapacidade dos matemáticos de atribuir coordenadas a um objeto, digamos, para cima ou para baixo, ou de um lado para o outro. Este princípio tem alguns resultados interessantes, já que os cientistas não têm certeza se o universo é orientável.
Isto representa um cenário desconcertante: se um foguetão com astronautas voasse para o espaço durante tempo suficiente e depois regressasse, assumindo que o universo não era orientável, é possível que todos os astronautas a bordo regressassem em sentido inverso.
Em outras palavras, os astronautas voltariam como imagens espelhadas de seu antigo eu, completamente invertidos. Seus corações estariam à direita e não à esquerda e eles podem ser canhotos em vez de destros. Se um dos astronautas tivesse perdido a perna direita antes do voo, ao retornar, o astronauta perderia a perna esquerda. Isto é o que acontece quando você atravessa uma superfície não orientável como uma faixa de Möbius.
Embora esperemos que você esteja confuso – pelo menos um pouco – precisamos dar um passo para trás. O que é uma tira de Möbius e como um objeto com matemática tão complexa pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel?
A História da Faixa de Möbius
A tira de Möbius (às vezes escrita como “tira de Mobius”) foi descoberta pela primeira vez em 1858 por um matemático alemão chamado August Möbius enquanto pesquisava teorias geométricas. Embora Möbius seja amplamente creditado pela descoberta (daí o nome da tira), ela foi descoberta quase simultaneamente por um matemático chamado Johann Listing. No entanto, ele adiou a publicação de seu trabalho e foi derrotado por August Möbius.
A faixa em si é definida simplesmente como uma superfície unilateral não orientável que é criada pela adição de uma meia torção a uma faixa. As tiras de Möbius podem ser qualquer banda que tenha um número ímpar de meias torções, o que acaba fazendo com que a tira tenha apenas um lado e, conseqüentemente, uma borda.
Desde a sua descoberta, a tira unilateral tem fascinado artistas e matemáticos. A tira apaixonou até MC Escher , dando origem às suas famosas obras, “Möbius Strip I & II” .
A descoberta da faixa de Möbius também foi fundamental para a formação do campo da topologia matemática , o estudo das propriedades geométricas que permanecem inalteradas à medida que um objeto é deformado ou esticado. A topologia é vital para certas áreas da matemática e da física, como equações diferenciais e teoria das cordas.
Por exemplo, sob princípios topográficos, uma caneca é na verdade uma rosquinha . O matemático e artista Henry Segerman explica isso melhor em um vídeo do YouTube : “Se você pegar uma caneca de café, você pode desmarcar o local para onde o café vai e pode apertar um pouco a alça e, eventualmente, deformá-la. em [um] formato de donut redondo e simétrico.” (Isso explica a piada de que um topologista é alguém que não consegue ver a diferença entre um donut e uma caneca de café.)
Usos práticos para a faixa Mobius
A tira de Möbius é mais do que apenas uma grande teoria matemática: ela tem algumas aplicações práticas interessantes, seja como auxílio didático para objetos mais complexos ou em máquinas.
Por exemplo, como a tira de Möbius é fisicamente unilateral, o uso de tiras de Möbius em correias transportadoras e outras aplicações garante que a própria correia não sofra desgaste irregular ao longo de sua vida útil. O professor associado NJ Wildberger, da Escola de Matemática da Universidade de Nova Gales do Sul, Austrália, explicou durante uma série de palestras que muitas vezes é adicionada uma torção às correias de transmissão das máquinas, “propositalmente para desgastar a correia uniformemente em ambos os lados”. A faixa de Möbius também pode ser vista na arquitetura, por exemplo, na Ponte Wuchazi, na China.
Edward English Jr. , professor de matemática do ensino médio e ex-engenheiro óptico, diz que assim como quando aprendeu sobre a tira de Möbius na escola primária, seu professor o fez criar uma com papel, cortando a tira de Möbius ao longo de seu comprimento, o que criou um tira mais longa com duas voltas completas.
“Ficar intrigado e exposto a esse conceito de dois ‘estados’ me ajudou, eu acho, quando encontrei o spin para cima/para baixo dos elétrons”, diz ele, referindo-se ao seu doutorado. estudos. “Várias ideias da mecânica quântica não eram conceitos tão estranhos para eu aceitar e compreender porque a tira de Möbius me apresentou a tais possibilidades.” Para muitos, a tira de Möbius serve como a primeira introdução à geometria e à matemática complexas.
Como você cria uma faixa de Möbius?
Criar uma tira de Möbius é incrivelmente fácil. Simplesmente pegue um pedaço de papel e corte-o em uma tira fina, digamos, 2,5 a 5 centímetros de largura. Depois de cortar a tira, simplesmente gire uma das pontas em 180 graus, ou meia torção. Em seguida, pegue um pouco de fita adesiva e conecte essa ponta à outra ponta, criando um anel com meia torção dentro. Agora você fica com uma tira de Möbius!
Você pode observar melhor os princípios desse formato pegando o dedo e seguindo as laterais da tira. Você acabará percorrendo toda a forma e encontrará o dedo de volta ao ponto inicial.
Se você cortar uma tira de Möbius no centro, em todo o seu comprimento, ficará com um laço maior com quatro meias torções. Isso deixa você com uma forma circular torcida, mas que ainda tem dois lados. Foi essa dualidade mencionada pelo Dr. English que o ajudou a compreender princípios mais complexos.
Agora isso é legal
Se você cortar um bagel ao longo de uma tira de Möbius , ficará com dois anéis de bagel conectados. Além disso, a superfície do corte será maior do que apenas cortar o bagel ao meio, permitindo espalhar mais cream cheese no bagel para comer.
